Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,
 

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x,    f ' (x) = cos x
si g(x) = cos x,  g ' (x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1,            f ' (x) = 0
Si g(x) = cos x,   g ' (x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

                                          (sec x)' = sec x · tg x

Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1,            f ' (x) = 0
Si g(x) = sen x,   g ' (x) = cos x
Por la derivada de un cociente,

 (cosec x)' = - cosec x · cotg x  

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x,    f ' (x) = - sen x
Si g(x) = sen x,  g ' (x) = cos x

Por tanto,

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Llamando f(x) = x cos x - 2,
f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x
(la derivada de 2 es cero por ser una constante)

 Si g(x) = x²,   g ' (x) = 2 x

Resolución:

Si f(x) = x tg x - cos x,
f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg²x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg²x) + sen x