Ejercicios y problemas de aplicaciones de la derivada

1Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

3Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1.

2.

3.

4La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³ − 0.45x² + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

6Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x ² + 4 en su punto de inflexión.

7Determinar a, b y c para que la función f(x) = x ³ + ax² + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

8Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

9Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

10La curva f(x) = x ³ + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

11Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

12Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx ² + x tenga extremos en los puntos x₁ = 1 y x₂ = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

1

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

2

Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

3

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1.

2.

3.

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

4

La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³ − 0.45x² + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

5

Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

r = 300 t − 300 t²

r′ = 300 − 600 t

300 − 600 t = 0 t = ½

2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

r″ (t) = − 600

r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75

 

Rendimiento máximo: (½, 75)

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

6

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x ² + 4 en su punto de inflexión.

f′(x) = 6x ²− 12xf′′(x) = 12x − 121

2 x − 12 = 0x = 1

f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0

Punto de inflexión: (1, 0)

f′(1) = 6 − 12= − 6 = m

 

y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

7

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x ³ + ax² + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x³ + ax² + bx + c f′(x) = 3x² + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

 

a = 6 b = 0 c = −6

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

8

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax ³ +bx ² +cx +df′(x) = 3ax ² + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0 c = 0

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

 

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

9

Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

f′(x) = 4ax³ + 3 bx² + 2cx + d f′′(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f′(x) = 4ax³ + 3 bx² + 2cx + d f′′(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f(1) = 3a + b + c + d = 3

f(0) = 0 e = 0

f′(1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3

f′(0) = 2 d = 2

f′′(0) = 0 2c = 0

 

a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

10

La curva f(x) = x ³ + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

11

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

 

Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada

12

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx ² + x tenga extremos en los puntos x₁ = 1 y x₂ = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?