Introducción

Los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya tenían la noción de cómo calcular volümenes, áreas y longitudes curvas pero gracias a los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz estos cálculos se simplificaron enormemente. El Teorema fundamental del cálculo relaciona los cálculos diferencial e integral sosteniendo que uno el inverso del otro.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Dada una función f continua en el intervalo [a;b] y sea F(x) la función primitiva

• $$F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt y $$a le x le b entonces F'(x) = f(x) para a < x < b

Es decir que dadas

• $$F(x) = int_{0}^{x} t^2 dt Rightarrow F'(x) = x^2
• $$H(x) = int_{10}^{e^{3x}} sen(t) dt Rightarrow H'(x) = sen (e^{3x}) e^{3x} 3

   

   

Demostración

Hipótesis: f es una funcióncontinua en el intervalo [a;b]

Tesis: F'(x) = f(x)

Demostración:

• $$F'(x) = frac {d} {dx} F(x) = lim_{Delta x to 0} frac {F(x + Delta x) - F(x)} {Delta x} Por definición de derivada
• $$F'(x) = lim_{Delta x to 0} frac {int_{a}^{x + Delta x} f(t) dt - int_{a}^{x} f(t) dt} {Delta x} = lim_{Delta x to 0} frac {int_{a}^{x + Delta x} f(t) dt} {Delta x}
• Dado c tal que $$x < c < x + Delta x (ver imagen)
• $$F'(x) = lim_{Delta x to 0} = frac {(x + Delta x - x) f(c)} {Delta x} = lim_{Delta x to 0} frac {Delta x f(c)} {Delta x} = lim_{Delta x to 0} f(c) = f(x) Porque por hipótesis f es continua en [a;b]. De esta manera queda demostrado que F'(x) = f(x)