3.6 Reglas de la cadena

3.6 Reglas de la cadena

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

 

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

 

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

 

 

Regla de la cadena para la función potencial

 

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

 

                                  

 

aplicando la regla de la cadena, será:

 

                                 [u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

 

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

 

Así,

                          

 

 

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

 

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

 

                                   f'(x) = (a^u )' = u' · a^u · ln a

 

                                         g'(x) = (e^u )' = u' · e^u

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

 

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

 

                                            

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas