calculo - 5.1 Definición de la integral definida

5.1 Definición de la integral definida

La integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Función integral

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Interpretación geométrica de la función integral o función área.

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x).

Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

Notación de la integral definida.