Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

• Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

f(c)(b - a) =

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:

m(b - a) M(b - a)      entonces        m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c) = .

Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.

A = = f(c)(b - a)

El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio de una función por eso a f(c) = se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x² - 2x en el intervalo [1, 4].

Calculamos:

f_prom = = = = (64 - 16 -1 + 1) = 16